LeetCode 287: Find the Duplicate Number
Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.
Note:
- You must not modify the array (assume the array is read only).
- You must use only constant, O(1) extra space.
- Your runtime complexity should be less than O(n2).
- There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.
Code
二分法
实际上,我们可以根据抽屉原理简化刚才的暴力法。我们不一定要依次选择数,然后看是否有这个数的重复数,我们可以用二分法先选取n/2,按照抽屉原理,整个数组中如果小于等于n/2的数的数量大于n/2,说明1到n/2这个区间是肯定有重复数字的。比如6个抽屉,如果有7个袜子要放到抽屉里,那肯定有一个抽屉至少两个袜子。这里抽屉就是1到n/2的每一个数,而袜子就是整个数组中小于等于n/2的那些数。这样我们就能知道下次选择的数的范围,如果1到n/2区间内肯定有重复数字,则下次在1到n/2范围内找,否则在n/2到n范围内找。下次找的时候,还是找一半。
映射找环法
假设数组中没有重复,那我们可以做到这么一点,就是将数组的下标和1到n每一个数一对一的映射起来。比如数组是213,则映射关系为0->2, 1->1, 2->3。假设这个一对一映射关系是一个函数f(n),其中n是下标,f(n)是映射到的数。如果我们从下标为0出发,根据这个函数计算出一个值,以这个值为新的下标,再用这个函数计算,以此类推,直到下标超界。实际上可以产生一个类似链表一样的序列。比如在这个例子中有两个下标的序列,0->2->3。
但如果有重复的话,这中间就会产生多对一的映射,比如数组2131,则映射关系为0->2, {1,3}->1, 2->3。这样,我们推演的序列就一定会有环路了,这里下标的序列是0->2->3->1->1->1->1->…,而环的起点就是重复的数。
所以该题实际上就是找环路起点的题,和Linked List Cycle II一样。我们先用快慢两个下标都从0开始,快下标每轮映射两次,慢下标每轮映射一次,直到两个下标再次相同。这时候保持慢下标位置不变,再用一个新的下标从0开始,这两个下标都继续每轮映射一次,当这两个下标相遇时,就是环的起点,也就是重复的数。对这个找环起点算法不懂的,请参考Floyd’s Algorithm。